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2023年高考数学全国卷试题评析|关注

日期: 2024-01-27 作者: 爱体育app苹果版

  在考试试题中融入核心素养是基础教育课程改革关注的焦点。2023年高考数学全国卷试题以数学基础知识为载体,全面考查数学核心素养,体现数学学科的育人价值。数学学科核心素养在2023年高考数学全国卷试题中的表现?接下来的一线数学教学实践应关注哪一些问题?一起看这篇文章——

  2014年9月,《国务院关于深化考试招生制度改革的实施建议》颁布,新一轮高考综合改革正式开启。2017年末,《普通高中课程方案(2017年版)》基于中国学生发展核心素养,凝练学科核心素养,提出落实立德树人、发挥学科独特育人价值。在此基础上,教育部考试中心2019年正式对外发布《中国高考评价体系》,提出要解决“为什么考、考什么、怎么考”的核心问题,构建“一核”“四层”“四翼”的综合体系[1],提出在“四层”,即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”的考查内容中自然融入核心素养[2]。

  纵观最近三年的高考数学全国卷试题,在深化基础、注重情境、素养和能力导向、落实立德树人和“五育”并举[3][4][5][6]等方面均有体现,这符合《中国高考评价体系》提出的“基础性、综合性、应用性、创新性”的“四翼”考查要求,以及核心素养融入考查内容等要求。2023年高考数学全国卷试题继续秉持深入考查基础知识和能力、落实考试评价改革、助力人才选拔等要求,注重数学本质、突出理性思维、渗透数学文化,全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学学科核心素养[7]。为此,本文将结合具体试题内容,深入评析2023年高考数学全国卷试题如何落实核心素养、体现育人价值,以期为更好地进行数学试题命制以及指导一线数学教学提供一定参考。

  近期,教育部办公厅印发《基础教育课程教学改革深化行动方案》,明确了课程方案转化落地规划行动、教育学生的方式变革行动等五个方面的重点任务,提出聚焦核心素养导向的教学设计、学科实践、跨学科主题学习、作业设计、考试命题、综合素养评价等教育学生的方式变革行动[8]。核心素养导向的考试命题研究,是基础教育课程改革的重点举措之一。回顾近十年的发展历史,自教育部在2014年印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中首次提出“核心素养体系”概念,到2017年各学科高中课程标准明确核心素养的要求,再到2019年高考评价体系中提出考查学科核心素养,以及2022年新修订的义务教育课程方案和课程标准也明白准确地提出核心素养的要求等,如何在考试试题中融入核心素养,是基础教育课程改革关注的焦点,也是难点。

  最新版普通高中数学课程标准规定了六大数学学科核心素养,体现具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观。其中,数学抽象素养要求舍弃事物的一切物理属性,从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念、命题、方法、结构体系,从中提高学生的数学抽象能力、发展思维品质、形成和发展一定的情感态度与价值观[9];逻辑推理素养体现获得猜想、证明猜想的过程,是合情推理与演绎推理的结合,在特殊与一般的逻辑推演过程中培育学生推理的严密性、发展思维品质、形成和发展一定的情感态度与价值观[10];数学运算素养是数学计算能力的发展,借助运算法则解决数学问题其实就是逻辑推演的过程,在理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果的过程中发展数学运算能力[11];直观想象素养是几何直观与空间想象的结合,建立形数联系、借助几何直观使抽象问题形象化、构建直观模型使复杂问题简单化,提高空间想象和几何直观能力,发展思维品质和形成一定的情感态度与价值观[12];数据分析素养重在使学生体会数据的随机性以及数据中的规律性;数学建模素养是在完整的数学建模过程中体会模型建立、参数调适、模型求解和模型解释等,体会用数学模型量化并解决现实问题的过程。

  数学学科核心素养是“四基”“四能”课程目标的继承和发展。2023年高考数学全国卷试题如何融入数学学科核心素养、体现育人价值?下面我们对此进行深入研讨。

  篇幅所限,本文不能面面俱到谈及六大数学学科核心素养,此处仅就某几个数学学科核心素养,选取有代表性的题目,深入展开分析。

  数学运算素养实际也体现逻辑推演的过程,具体表现在理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等过程中[13]。借助运算解决实际问题,能够在一定程度上促进学生数学思维的发展,培养规范思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。以2023年数学新课标Ⅱ卷第21题为例,解析该题体现的数学运算素养。

  (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线交于P。证明:点P在定直线上。

  理解运算对象:这是一道解析几何题,考虑用坐标法解决。此题涉及的关键点有:左右顶点A1、A2,交点M,N,P,对应的代数表达即为点的坐标;涉及的关键曲线,定直线,对应的代数表达是二元二次方程和二元一次方程。

  探究运算思路:中学阶段的圆锥曲线问题,经常与二次曲线和直线间的几何动态变化过程有关。第一问考查基础知识和基本运算,易得双曲线。第二问证明点在定直线上,也即求定直线的方程。直接找点P的横纵坐标关系很难,可以先通过图像分析这条定直线)借助对称性(直线MN,MN关于x轴对称),分别做出交点P,P,直观发现PP⊥x轴,推测点P所在的定直线与x轴垂直,证明结论转化为求点P的横坐标,结论的运算对象从二维降为一维,这是很重要的一种探究思路。当然,常规思路是根据已知条件,设出直线MN方程,与双曲线方程联立,并根据直线相交于点P,进而探求点P横纵坐标满足的关系。但这种思路计算量太大,点M,N坐标含根式,点P坐标形式复杂,难以化简求解。思路受阻时,解决途径之一就是寻求特殊情形下的结论,即上面提到的将运算对象从二维降为一维。分析直线与二次曲线的几何动态变化,点M,N的变化同时影响点P坐标,考虑借助韦达定理得到点M,N横(或纵)坐标的和与积,表示点P。具体求解此处不赘述。

  实施运算:选择正真适合的运算方法,正确运用运算法则实施运算,最后将运算结果翻译成最终结论:点P在定直线上。

  该题第一问是基础知识和基本运算能力的考查;第二问结合已知条件和所求结论,进行几何语言代数化表达,以及选择正真适合算法、依据一定的运算法则、求得运算结果,体现数学运算素养的要求。

  数学抽象素养即抽象出数学概念、命题、方法、结构体系的过程。基于现实或逻辑的抽象,可以积累从具体到抽象的活动经验,形成用数学思维处理问题的能力,在日常生活中会用一般性思维理解事物的本质[13]。以2023年数学新课标Ⅰ卷第10题为例,解析该题在抽象数学命题或模型中体现的数学抽象素养。

  噪声污染问题慢慢的受到重视。用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgP/P0,其中常数P0(P0>0)是听觉下限阈值,P是实际声压。下表为不同声源的声压级:

  已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P1,P2,P3,则( )。

  理解问题情境:此题设置生活实践情境,给出噪声声压级的数学模型或数学表达式,判断各类型机动车实际声压间的关系。此题首先要理解问题背景,认识数学模型中每个字母的含义以及参变关系:Lp是声压级,常数P0是听觉下限阈值,P是实际声压;数学解析式是因变量Lp关于自变量P的表达式。

  抽象出数学命题:模型的抽象是数学与现实世界建立联系的重要环节。用数学语言和形式重新表述给定的情境、问题及其蕴含的数量关系[14],可以抽象出不同的数学模型,得到相应的数学命题。

  解读表格的含义:表格第二列“与声源的距离”数值都相等,前提相同;表格可抽象出三个命题,例如第二行抽象出命题“若与声源的距离为10m,则燃油汽车的声压级LP1∈[60,90],即20×lgP1/P0∈[60,90]”。

  该题考查数学抽象素养,学生需要读懂题干背景,理解表格数据,从背景材料中抽象出数学模型和命题,最后借助对数函数相关知识得出实际声压间的等量和不等关系。

  数据分析素养与统计问题中分析数据的过程紧密关联。数据分析素养的四个主要体现是:面向实际背景,凝练统计问题;明确问题目标,收集整理数据;合理构建模型,优化推断结论;回归实际问题,形成决策知识[14]。分析数据解决实际问题,利于提升学生获取有价值的信息并定量分析的能力,形成用数据认识分析事物的意识与能力。以2023年数学新课标Ⅱ卷第19题为例,解析该题体现的数据分析素养。

  某研究小组经过研究之后发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

  利用该指标制定一个检验测试标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性。此检验测试标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c)。假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。

  (2)设函数 f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105],求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值。

  面向实际背景,凝练统计问题:此题设计生活实践情境,某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,如何制定一个检测标准即确定指标的合理临界值,才能高效诊断病情?因此,第二问的统计表述是:依据患病者和未患病者的指标分布,计算漏诊率和误诊率之和的最小值。

  明确问题目标,收集整理数据:该题数据以频率分布直方图的形式呈现,虽然损失了一些原始信息,但可根据样本数据的分布情况,估计总体的分布规律。

  合理构建模型,优化推断结论:这是数据分析的核心部分。题目已提供模型:表示漏诊率和误诊率,计算漏诊率和误诊率之和来确定检测标准值。第一问,反映指标临界值、漏诊率和误诊率之间的关系。分析“患病率”直方图计算漏诊率,已知漏诊率p(c)=0.5%,也即指标介于95与c之间的小长方形面积之和为0.005,列出(c-95)×0.002=0.005,求c。误诊率计算方式类似,不再赘述。第二问,增大难度,指标临界值同时影响漏诊率和误诊率,构造一个模型 f(c)=p(c)+q(c),用漏诊率和误诊率之和最小表示检测合理。

  该题第一问考查图表分析和对模型变量的理解;第二问构建模型,求解析式及其最小值,是数据分析的核心过程。实际教学中,可以在此基础上追问:求得最小值的实际意义是什么?可以用其他模型表示检测合理吗?进一步感受模型的合理性以及结论优化,形成决策意识。

  直观想象素养的四个主要体现是:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物[13]。直观想象利于感知事物的空间形式和变化,感悟事物的本质。以2023年数学新课标Ⅰ卷第12题为例,解析该题体现的直观想象素养。

  下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚忽略不计)内的有( )

  建立形与数的联系:此题未给出图形,应该要依据题目想象几何图形。已知代数条件是正方体、球体、四面体、圆柱体的大小,解决此题头脑中需要浮现出这些几何体的模型,并会作图。其中选项C是“瘦高”圆柱体,选项D是“矮胖”圆柱体。由几何图形的位置关系到代数关系,选项A涉及内切球直径问题,选项D涉及正多边形内切圆半径问题。

  利用几何图形描述问题:将研究问题图形化,借助几何图形的形象关系描述抽象、复杂的问题[14]。“几何体可以被整体放入正方体容器中”对应的图形关系描述可以是:体积大小关系、截面大小关系等。

  运用空间想象认识事物:因为正方体容器的容器壁厚度忽略不计,因此可将正方体容器抽象成正方体模型。选项C、D分析类似,例如选项D,要一直思考圆的摆放情况;想象容纳最大圆的摆放位置,即圆柱体的底面圆完全放进正方体里,则要找出能容纳最大圆的正方体截面。

  借助几何直观理解问题:正方体是常见的简单几何体模型,其几何性质包括点线面的位置关系、截面问题、球的切接问题等。选项A、B分析类似,以选项B为例:首先,分析可知为正四面体;其次,寻找正方体内常见的正四面体(图3),即以正方体顶点为顶点,计算此正四面体的棱长为√2m1.4m;再次,将正四面体稍微缩小一点,可作棱长均为1.4m的四面体。选项C、D分析类似,以选项D为例,寻找合适的截面,正方体的常见多边形截面是较为熟悉的,若取为正六边形截面(图4),正六边形的内切圆直径为√6/2 m1.2m。圆柱的高可忽略不计,D符合。实际上,圆柱是有厚度的,能够最终靠严谨的证明计算出符合题意的高的范围。

  该题选项A、B、C较易得到临界状态的几何图形,通过一系列分析简单图形的位置关系和度量关系,深化基础知识和基本技能的考查。选项D的截面问题,则需要较强的几何直观与空间想象力,是对直观想象素养的考查。

  逻辑推理素养指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题[13],这里的关键是推理有据。掌握逻辑推理的基本形式,可以培养人有逻辑地思考问题;利于在相对复杂的情境中看清事物发展的脉络,厘清关系;利于形成严谨有序、合乎逻辑的思维品质[13]。以2023年数学新课标Ⅰ卷第20题为例,解析该题体现的逻辑推理素养。

  设等差数列{an}的公差为d,且d1。令bn=(n^2+n)/an,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和。

  已知事实或命题:仔仔细细地观察,显而易见该题两问之间的内在逻辑关联。第一问的条件描述的是数列前三项之间的关系,结论为求通项,也即求a1,d;第二问难度比第一问大,给出更具一般性的条件({bn}为等差数列)和较大项数的等量关系。发现这些内在逻辑关系,是迅速解决此题的关键。

  逻辑推理过程:第一问本质上是求等差数列的两个基本量a1,d,将条件3a2=3a1+a3,S3+T3=21转化为关于a1,d的方程,即可求得结果。第二问的解决,假如发现第一问与第二问的内在逻辑关系,则可以简洁地解决此题。根据{bn}为等差数列,则有2b2=b1+b3,同时S99-T99=99,这样第二问与第一问的形式很类似了,仿照第一问较易得到第二问的思路与解答。这其实是从一般到特殊的思路。还有一种思路是利用已知条件直接推理:写出an、bn关于首项和公差的通项公式,根据已知条件中an、bn满足的关系式,得到关于项数n的恒等式,利用待定系数法并结合S99-T99=99,求得等差数列{an}的公差d。后一种方法对学生数学运算能力的要求比较高,而前一种方法除了数学运算能力的要求外,对发现内在逻辑关系、一般与特殊的相互转化等逻辑推理过程也有要求。

  该题考查逻辑推理素养,要求有逻辑地思考问题,推理要有根据。问题是如何提出的,证明思路和计算方向是如何形成的,懂得分析“来龙去脉”,运算过程中要步步有据等,这些是逻辑推理素养在育人方面的要求。

  第一,试题全面考查了数学学科核心素养。通过对试题的举例说明,我们详细呈现了题目是如何考查数学学科核心素养的。例如,数学运算素养中的理解运算对象、探究运算思路;数学抽象素养中的理解情境、从情境中抽象出数学命题或模型;数据分析素养中的将情境抽象为统计问题、合理构建模型推断结论、解释现实问题;直观想象素养中的借助几何直观和空间想象,同时依据一定的逻辑推理处理问题;逻辑推理素养体现的一般化为特殊的逻辑推导等。具体题目中体现了高中数学学科核心素养的内涵和具体表现,某些特定的程度反映了在基础教育课程改革的考试试题中融入核心素养是可行的。

  第二,试题很好融合了数学基础知识的考查和数学学科核心素养的考查。数学学科核心素养融入数学试题,与数学基础知识的考查必定是相伴相随的。例如考查数学运算素养的题目,第一问更多体现数学基础知识,第二问更多体现数学运算素养;考查数学抽象的题目,如果缺乏一定的数学抽象能力,解决此题就很难,同时解决此题需要具备对数函数相关的基础知识;又比如考查数据分析素养的题目,考生需要具备扎实的统计知识,同时能将现实情境转化为统计问题,借助概率统计基础知识加以解决;而关于逻辑推理素养的考查,更需要借助具体数学知识,通过有逻辑的推理,包括数学演算解决问题。

  第三,试题很好体现了数学学科的育人价值。数学学科独特的育人价值,体现在发展学生的数学思维,培养一丝不苟、严谨求实的科学精神和辩证唯物主义世界观等,这些通过试题某些特定的程度得以反映。

  数学学科核心素养的养成,离不开对数学知识本质的把握。仅靠知识的死记硬背、机械记忆不可能实现数学学科核心素养的养成。为此,教师应注重教学中的过程引导,鼓励学生独立思考,把握数学知识的本质、感悟数学基本思想。

  过程性引导需要注意概念、定理、公式、法则等新知识如何在创设的背景中引出。概念本质特征的抽象、概念的来龙去脉以及概念之间的关联、定理公式法则等的推导,知识之间的联系和串通、知识本质特征的把握以及直观理解等,这些都是过程性引导要关注的重点问题。教师要帮助学生理解问题的来龙去脉,良好的引导和启发能促使学生主动发现和提出问题,探究数学知识本质,发展数学的眼光。教师要创设促使学生独立思考的学习氛围,帮助学生积累多样化的数学活动经验,发展数学思维。

  第二,教学中引导并关注“三会”,在知识掌握的同时关注数学学科核心素养的养成。

  “三会”指会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界,分别对应高中六大数学学科核心素养。从前面分析高考试题中能够准确的看出,会用数学的眼光观察世界在考查数学抽象和概率统计的题目中有突出体现;会用数学的思维思考世界,体现在数学运算和逻辑推理素养考查的题目中;会用数学的语言表达世界大多数表现在数据分析素养考查的题目中。

  具体来讲,数学抽象素养强调会用数学的眼光观察世界,这包括能将现实世界抽象到数学内部以及在数学内部的抽象。例如,针对前面的高考题目,教师在教学中可以和学生一起阅读现实情境题目,逐句分析,理解数学模型中的常数、参数、变量,会用不同标识区分不一样的情况,克服对数学文字题的恐惧心理,这对于现实情境的抽象是有益的。对数学结构的认识,如柱、锥、台体积公式的统一,圆锥曲线第二定义的统一等,则是数学内部较高层面的抽象了。

  高中阶段逻辑推理素养的养成建立在学生已有认知基础上,在高一就要开始加以培养和提升,如学习常用逻辑用语、验证命题的正确性、举反例说明命题不成立等。再如比较2^4/3,4^2/5的大小,先假设2^4/34^2/5,运用不等式性质对其等价变形为(2^4/3)^15(4^2/5)^15,转化成一个易判断的不等式,这是一个逻辑推断的过程。前面分析的2023年数学新课标Ⅱ卷第21题用归纳推理方式猜测定直线,再用演绎推理证明猜想,教学中可以让学生体验猜想的必要性。当运算的对象复杂且抽象时,可通过特殊情形找到运算的方向;寻找何种特殊情形?与电脑作图相比,圆锥曲线手绘作图较难实现任意点的精确定位,但依旧能够保证良好的对称性,因此观察对称直线的动态变化,可以较为精准地判断定直线的位置。

  培养直观想象素养时,教师要意识到作图的重要性。借助清晰美观的平面图较易“看”出性质和结论,找到思路;初学立体几何,教师能少用多媒体直接展示几何体,而多借助尺规作图,并适当讲解简单几何体的作图步骤。

  第三,通过养成式教学,逐步形成和发展学生的数学学科核心素养,实现育人目标。

  数学学科核心素养的养成需要一定的过程,即通过养成式教学逐步形成。例如数学抽象素养的培养,在概念学习、命题学习等特定教学活动中,让学生多感受用抽象思维思考问题;逻辑推理素养可渗透在各知识板块间的梳理、各种教学活动以及学生学习环节中;数学运算素养要注重运算的思路以及运算程序的设计,对于重要经典的运算过程,要给学生做示范并和学生一起算,探讨多种算法,教会学生估算;发展直观想象素养,要强化学生的作图意识,会转化成图形进行推理和分析;数据分析素养的发展,一定要有问题情境的引导,经历数据分析的全过程。

  数学学科核心素养的培养是一个系统工程,要比较长时间。教学中以数学学科核心素养为引领、落实育人价值,不仅可有效培育学生综合素养,而且能提高教师自身素养,在引导其整体设计指向核心素养的主题教学、单元教学、课时教学等方面,都是有益的。

  [1] 教育部考试中心. 中国高考评价体系[M]. 北京:人民教育出版社,2019.

  [2] 教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京:人民教育出版社,2019.

  [3] 教育部教育考试院. 创设情境 发挥育人作用 深化基础 考查核心素养——2022年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试,2022(07):14-19.

  [4] 教育部考试中心. 聚焦核心素养考查关键能力——2021年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试,2021(07):70-76.

  [5] 教育部考试中心. 以评价体系引领内容改革 以科学情境考查关键能力——2020年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试,2020(08):29-34.

  [6] 教育部考试中心. 以真情实景落实“五育并举” 以理性思维践行“立德树人”——2019年高考数学试题评析[J]. 中国考试,2019(07):7-10.

  [7] 教育部教育考试院. 深入考查基础知识和能力 助力人才选拔和“双减”落地——2023年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试,2023(07):15-21.

  [8] 教育部办公厅. 基础教育课程教学改革深化行动方案[Z]. 2023.

  [9] 郭玉峰. 聚焦数学抽象素养和数学问题提出——第二届“中学数学课程与教材国际论坛”综述[J]. 中国数学教育,2019(24):3-7.

  [10] 吴惠玲,郭玉峰.数学归纳推理能力再探:内涵与表现[J]. 数学通报,2021,60(05):10-17.

  [11] 郭玉峰,段欣慰,孙艳.数学运算素养的理解与商榷[J]. 中国数学教育,2019(20):3-8.

  [12] 刘佳,刘攀坤,郭玉峰.基于直观想象素养的构成和水平划分的数学高考试题研究[J]. 数学通报,2020,59(03):35-40.

  [13] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准:2017年版2020年修订[M]. 北京:人民教育出版社,2020:4-7.

  [14] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写,普通高中数学课程标准修订组编写,史宁中,王尚志主编.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)解读[M]. 北京:高等教育出版社,2020:74,88,111,131-134,161.

  本文系2019年度教育部人文社会科学研究规划基金项目“高中数学核心素养理论框架的实证及实践研究”(19YJA880009)的研究成果

  [作者郭玉峰系北京师范大学数学科学学院教授,博士生导师;吴惠玲系广东省深圳外国语学校(集团)龙华高中部数学教师]

  文章来源|《人民教育》2023年第15-16期,原标题为《聚焦核心素养 体现育人价值——2023年高考数学全国卷试题评析》