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圆锥体积公式证明for中学生

日期: 2023-10-18 作者: 爱体育app苹果版

  为高。可是直到高中,也没有证明过。这儿我给一个根据“穷竭法”的,不必微积分常识,给一个中学生也能看懂的证明。

  在证明前,我想请读者留意:这个证明不涉及到任何实践的无量进程,没有用到任何“无量小”与”无量大“。

  这样,第i份便是一个上底面半径\frac{i-1}{n}r,下底面半价\frac{i}{n}r,高为\frac{h}{n}的一个圆台。很显然,咱们咱们能够把它装进一个与它高相同,而底面与它的下底面相同的圆柱之中;相同地,咱们咱们能够把一个高与它相同,而底面与它的上底面相同的圆柱装进其间。因而,这一个圆台的面积,满意:(第1份是一个小圆锥,可是相同满意以下的联系)

  咱们把这n个圆台的体积加起来,能够取得圆锥的总体积V,它满意这样的不等式:

  1.直观上,咱们求体积,需要把圆锥“无限切开”成“无量小圆台”,再近似成柱体,再把这无量个“无量小”合起来。可是无量没有界说,因而这是不允许的。取而代之的是,咱们把它切成有限的n份,然后用柱体体积给出每一份的体积的一个规模,再把它们加起来,得到圆锥的体积的一个规模。由于n能够再一次进行挑选恣意(有限的)正整数,因而这样的规模最终彻底得到了体积的值。这种用“对恣意(有限)的数”来替代“无量小”和“无量大”,正是微积分紧密化的思路。

  2.在用反证法,从最终的不等式证明V=\frac{1}{3}{\pi}r^2h时,只需找到一个n违背不等式就够了,不需要得到n“最好”的值。因而不等式能够放缩很大,在能到达意图的前提下能够尽量简化。

  3.现实上,咱们证明了“圆锥的体积公式”,而“体积”却没有很好地界说。具体地界说体积(以及面积)超出了咱们的规模。咱们在证明中,用到了体积的几个性质:

  (3)柱体的体积等于底面积乘高。(这一条能够削弱为边长为1的正方体体积为1)

  4.现实上,在规范的体积(R^n上的勒贝格测度)界说中,并不是所有点集都能够界说体积。因而这儿还隐含了一个现实(能够证明可是咱们没证明就直接用了的):圆锥,圆台都能够界说体积。

  5.这个证明关于”切断“的处理不行谨慎。可是由于期望初中生也能试着看一看所以不期望用集合论的言语,所以不细心解说并修补这样的一个问题了。