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【转载】圆锥体积计算公式的直观解说

日期: 2023-10-18 作者: 爱体育app苹果版

  学习数学公式背面的思维来源和思维办法,远远比背一个公式精彩百倍。这儿,我以“怎样了解圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”为切入点,和读者朋友们沟通一下为什么学习数学思维比背公式更重要这个问题。

  在数学识题中,最精彩的证明莫过于不需要证明,把杂乱的问题改变不断简化和一般化,咱们就能看到数学之美。那么,接下来就请读者朋友们跟着我的思路去探求一下圆锥体积计算公式背面的数学原理和思维。这是一段美好的思维之旅,千万别分心哈!

  咱们先看和圆锥体有相关的金字塔形(或许叫做角锥体)的体积,看看它与等底等高的长方体是什么联系。

  由于要比较等底等高的长方体,很天然的主意便是把这个椎体放进等底等高的长方体中,看看是什么状况。

  这是一个从前困扰古代数学家们很长时间的问题。后来,有人提出一个风趣并且有启发性的观念:把一个立方体的中心点和八个极点相连,就可以把这个立方体切成六个彻底相同的角锥。如下图所示:

  很显然,每一个角锥都是等底等高长方体的三分之一。这是一个巨大的发现或许洞见,也是一个极具美感的证明办法,可谓一件艺术品。但问题来了,这个证明只适宜上面这种高恰好是底边二分之一的角锥,大部分的角锥都不契合这样的份额。那怎样才好呢?

  其实,任何一种角锥都是上述角锥的特例,仅仅经过了某些特定的程度的弹性或许变形而得到的。

  弹性关于角锥体积和等底等高长方体体积的影响是彻底同步的,两者都要乘以一个弹性的倍数。这在某种程度上预示着两者的体积之比将会坚持固定不变,任何一个角锥的体积都是等底等高长方体体积的三分之一,永久建立。

  当这些圆柱体的高度不断下降,直至变成圆形薄片的时分,其体积就迫临圆锥体的体积。这是一种“尽头”的思维,对了解许多数学识题都有很大的协助。

  可是,到目前为止,咱们仍旧无法确认圆锥体的体积公式怎样得到。再次搬出前面咱们解说过的角锥体。找一个和圆锥体底面积和高都相同的角锥,放在一同比较。

  由于上面的圆锥体和角锥的底面积和高都持平,所以只需证明他们的体积也持平就能阐明问题了。要证明这样的一个问题,咱们把圆锥体和角锥体一起用尽头法进行切片。

  当圆柱体和长方体的高度一起不断下降直至薄片时,每一个圆柱的体积和对应的长方体的体积都是持平的。也便是说,无论是哪一个高度,圆锥和角锥都有相同面积的截面存在。

  因而,咱们很简单知道,上面两个图形的体积也是持平的。然后,咱们把这两个圆椎和角锥别离放入等底等高的圆柱体和长方体中。由于圆柱体和长方体的底面积持平,高也持平,故体积也必定持平。然后得到,圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一。

  任何一种立体图形都可以用很多薄片堆积而成,或许说迫临。假如两个像这样的立体可以适当地摆放在一同,让它们在任何一个相同的高度都有面积持平的截面,它们的体积必定持平。这便是闻名的“卡瓦列里原理(Cavalieri principle)”。这样的解决办法的始创者是古希腊数学家阿基米德(阿基米德便是用这种办法得到了球体的体积计算公式),但由伽利略的学生卡瓦列里从头发现。这样的解决办法的精妙之处在于,无需计算出体积,而是经过选取适宜的目标进行比较来得到体积。

  事实上,中国古代闻名数学家祖冲之、祖暅父子就提出“缘幂势既同,则积不容异”一说,即“等高处截面面积持平,则二立体的体积持平”,并由此严厉推导出球体体积的计算公式。祖氏父子对该原理的发现和运用要比卡瓦列里早一千年。故又被称为“祖暅原理”。

  卡瓦列里原理的使用很广泛,最闻名的比如便是球体体积的计算公式,其思维的精妙,让人拍案叫绝!当然,这儿暂时不详细展开了,有时机再解说。

  经过这个比如,咱们不只领会了数学中“尽头”思维的魅力,还学到了“卡瓦列里原理”的原理和使用,这可比倒水或倒沙子风趣百倍。经过这样的学习,咱们不只学会了怎样考虑,还学会了怎样转化视点看同一个问题。这才是数学要学习的东西!

  期望咱们的数学教育能回忆教育的实质,让更多的孩子喜爱上数学,而不是只会背公式和答案,做毫无思辨才能的考试机器!