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用简略初等办法证明数学中圆锥体积公式(推翻许多数学书上称圆锥体积公式不能用初等办法证明的伪现实)

日期: 2023-10-16 作者: 爱体育app苹果版

  从小到大,见过许多书都说圆锥的体积等于同底等高的圆柱的体积的三分之一不能用初等办法证明,其实这种观念是过错的,自己从前悟出这个定论的初等证明办法,这种办法是在小学结业未进入初中时自悟出的,因而这种办法中学生一定能看得懂,乃至聪明的小学生也一定能看得懂。下面咱们就选用这种简略办法证明这个定论。

  如上图所示,设圆柱(锥)的底面半径为r, 高为h, 用\pi表明圆周率,很天然,圆柱的体积为\pi r^2h. 咱们不难想象,圆锥的体积必定和底面积成正比。这是由于底面积扩展n倍时,依据类似原理,与底面平行的恣意一个截面的面积均扩展n倍,而体积正是由与底面平行的一切截面在高的方向上累积而成,因而圆锥的体积与底面积成正比。同理,圆锥的体积也与高也成正比。这是由于在高扩展m倍之时,依据类似原理,相应的每一根竖线的高度也都扩展m倍,而体积正是由这些线段在截面的方向上累积而成,因而圆锥的体积也与高成正比。既然如此,咱们我们能够设圆锥的体积公式为

  请读者再细心看图,设想从圆柱之中挖出一个同底等高的圆锥,剩下部分能够看作是以圆柱的旁边面积为底,以底面半径为高的锥体,下面简称其为“剩下体”。这是因每个以大圆柱轴心为轴心的小圆柱旁边面在该剩下体上截得的柱面的面积均与小圆柱的半径的平方成正比。这与圆锥体的规则是共同的,圆锥体的每个截面的面积正是与它到极点的间隔的平方成正比。而剩下体的体积是由这些被截得的柱面在圆柱底面半径的方向上累积而成,与此对应,圆锥体的体积也正是由与底面平行的截面面积在高的方向上累积而成,因而该剩下体能够看作以圆柱旁边面为底,以圆柱底面半径为高的锥体,体积公式也天然与圆锥体共同。则该剩下体的底面积即为圆柱的旁边面积2\pi rh, 高为半径r, 因而该剩下体体积能够写成